已知y^2=4a(x-a)(a>0),求u=(x-3)^2+y^2的最小值.

题目

已知y^2=4a(x-a)(a>0),求u=(x-3)^2+y^2的最小值.
不懂求出函数y的定义域x≥a的作用 和当a≥1和0

答案

∵y²≥0,
∴y^2=4a(x-a)≥0
∵a>0
∴x-a≥0
∴x≥a
∴u=(x-3)^2+y^2
=(x-3)²+4a(x-a)
=x²-(6-4a)x+9-4a²
=[x-(3-2a)]²-(3-2a)²+9-4a²
=[x-(3-2a)]²+12a-8a²
这是关于x的二次函数,但x≥0
要讨论对称轴3-2a与a的关系.
当3-2a≤a即a≥1时,
函数在[a,+∞）上递增
x=a时,取得最小值(a-3)²
当3-2a>a即0