已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y±3x=0,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.

已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y±3x=0,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.

题目
已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y±
3
x=0
,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.
答案
设此双曲线的方程为y2-3x2=k(k≠0),
当k>0时,a2=k,b2=
k
3
,c2=
4
3
k,此时焦点为(0,±
4
3
k
),
由题意得:3=
4
3
k
2
,解得k=27,双曲线的方程为y2-3x2=27;
当k<0时,a2=-
k
3
,b2=-k,c2=-
4
3
k,此时焦点为(±
4
3
k
,0),
由题意得:3=
−4k
2
,解得k=-9,双曲线的方程为y2-3x2=-9,即3x2-y2=9.
∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9.
依题意可设此双曲线的方程为y2-3x2=k(k≠0),利用焦点到渐近线的距离为3求得k即可.

双曲线的简单性质.

本题考查双曲线的简单性质,据题意设双曲线的方程为y2-3x2=k(k≠0)是捷径,考查待定系数法与分类讨论思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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