设二次函数y=f（x）的图象过原点，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围．

题目

设二次函数y=f（x）的图象过原点，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围．

答案

∵二次函数y=f（x）的图象过原点，
∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），
又

f(−1)＝a−b f(1)＝a+b

，
得

a＝ 1 2 [f(−1)+f(1)] b＝ 1 2 [f(1)−f(−1)]

，
∴f（-2）=4a-2b=4×

1

2

[f（-1）+f（1）]-2×

1

2

[f（1）-f（-1）]=3f（-1）+f（1），
又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，
即5≤f（-2）≤10．
∴f（-2）的取值范围是[5，10]．

由二次函数y=f（x）的图象过原点，设出二次函数解析式为f（x）=ax²+bx（a≠0），把f（-1）和f（1）用含有a，b的代数式表示，联立关于a，b的方程组解出a，b，然后把f（-2）也用含有a，b的代数式表示，最后转化为用f（-1）和f（1）表示，由f（-1）和f（1）的范围求得f（-2）的范围．

本题考点：简单线性规划；函数的值域；函数的值．

考点点评：本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答此题的关键是把f（-2）转化为含有
f（-1）和f（1）的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由f（-1）和f（1）的范围联立求出a和b的范围，然后把f（-2）用a和b的代数式表示，由a和b的范围求解f（-2）的范围，忽略了其中a和b是相关联的．