已知函数y=4^x/(4^x+2),求f(1/2008)+f(2/2008)+……+f（2006/2008）+f(2007/2008)的值.

题目

已知函数y=4^x/(4^x+2),求f(1/2008)+f(2/2008)+……+f（2006/2008）+f(2007/2008)的值.

答案

f(x)=4^x/(4^x+2)
f(1-x)=4^(1-x)/[4^(1-x)+2]
=(4/4^x)/(2+4/4^x)
上下乘4^x
=4/(2*4^x+4)
=2/(4^x+2)
所以f(x)+f(1-x)=4^x/(4^x+2)+2/(4^x+2)=(4^x+2)/(4^x+2)=1
所以f(1/2008)+f(2007/2008)=1
f(2/2008)+f(2006/2008)=1
……
所以f(1/2008)+f(2/2008)+……+f（2006/2008）+f(2007/2008)
=[f(1/2008)+f(2007/2008)]+[f(2/2008)+f(2006/2008)]+……+[f(1003/2008)+f(1005/2008)]+f(1004/2008)
=1003+f(1004/2008)
f(1004/2008)=[f(1004/2008)+f(1004/2008)]/2=1/2
所以原式=1003+1/2=2007/2