P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　） A.24 B.16 C.8 D.4

题目

P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x²+y²=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　）
A. 24
B. 16
C. 8
D. 4

答案

由圆x²+y²=4，得到圆心（0，0），半径r=2，
由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA²=PO²-r²=PO²-4，
当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，
点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，
当PO⊥l时，PO有最小值d=

10

5

=2

5

，PA=4，
所求四边形PAOB的面积的最小值为8．
故选C

由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO＝2PA的最小值，转化为求PA最小值，由于PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键．