PA垂直平面ABC,PC=2a,BC=a,PC与面ABC成30度的角,角ABC=60度,求PB与平面APC所成角的正切

题目

PA垂直平面ABC,PC=2a,BC=a,PC与面ABC成30度的角,角ABC=60度,求PB与平面APC所成角的正切
如上题

答案

由已知得AC=√3a,
在三角形ABC中,由余弦定理得AB^2+BC^2-2AB*BCcos∠ABC=AC*2,可求出AB=2a.
作BG垂直AC于G,则易证BG垂直于平面PAC,BG为点B到平面PAC的距离.
在三角形ABC中,由等积关系有 1/2AB*BCcos60°=1/2AC*BG,得BG=√3a/3.
又PB=√5a,所以PG=√42a/3
设PB与平面APC所成角为θ,则tanθ=BG/PG=√14/14.