已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线l:y=3(x+1)与椭圆相交于A、B两点,若线段AB的中点M到原点的距离为1,且|AB|=2. (1)求点M坐标; (2)求椭圆方程.
题目
已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线
l:y=(x+1)与椭圆相交于A、B两点,若线段AB的中点M到原点的距离为1,且|AB|=2.
(1)求点M坐标;
(2)求椭圆方程.
答案
(1)设直线与x、y轴的交点分别为C,D,其坐标为C(-1,0)、D(0,
)
由于M是AB的中点,则M在直线上,且其到原点的距离为1,以原点为中心做半径为1的圆与直线相交于两点,C(-1,0),E(-
,
),则E点即是M点(C点不满足)
∴M(-
,
);
(2)又由于AB长度为2,所以MA,MB长度为1,且MX,MY长度分别为1,所以A、B分别于C、D重合
设椭圆方程为
+=1(a>b>0),则a=1,b=
∴椭圆方程为x
2+
=1.
(1)确定直线与x、y轴的交点,即为A,B两点,即可求出点M坐标;
(2)根据A,B两点的坐标,即可求得椭圆方程.
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
本题考查椭圆的标准方程,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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