如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=3，在线段AC上取点D，使AD=2CD，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E． （1）写出图中现有的一对相似三角形，并说明理由； （2）求弦

题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=

3

，在线段AC上取点D，使AD=2CD，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E．

（1）写出图中现有的一对相似三角形，并说明理由；
（2）求弦CE的长．

答案

（1）△ABD∽△ECD．
理由：∵∠A=∠E，∠ABD=∠ECD，
∴△ABD∽△ECD；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=2

3

，
∵AD=2CD，
∵△ABD∽△ECD，
∴CE：AB=CD：AD=1：2，
∴CE=

1

2

AB=

3

．

（1）由∠A=∠E，∠ABD=∠ECD，由有两角对应相等的三角形相似，可得△ABD∽△ECD；（2）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=3，可求得AB的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得弦CE的长．

本题考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．