已知m为正整数,用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx.
题目
已知m为正整数,用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx.
答案
将(1+x)m≥1+mx看成关于m的不等式,x为参数,以下用数学归纳法证明:
(ⅰ)当m=1时,原不等式成立;
当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,
因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;
(ⅱ)假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,
则当m=k+1时,
∵x>-1,
∴1+X>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x得
(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)•(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式也成立.
综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- The important things in my life
- 甲数与乙数的比是5:8,甲数比乙数少( )( ),乙数比甲数多( )( ).
- 连词主句 and,i,will,think,advice,your
- 已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长,且他们的面积之和是100平方厘,那么甲圆的面积是多少?)
- 电流表并联的电阻越小,电流表能测量的电流越大?求大神帮助
- 四个瓶子分别装有氧气、氮气、空气和二氧化碳气体
- 小明,小红,小磊共解除50道数学题,
- 已知等差数列{an},{bn}的前几项和分别为Sn与Tn,若Sn/Tn=3n+1/4n+3,求a5/b5的值
- 列方程 把3个正方形拼成一个长方形,拼出的长方形周长是48厘米,求正方形的边长
- 硼酸的化学式是什么
热门考点