设抛物线y^2=2px焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点,A,B纵坐标分别为y1,y2,证y1y2=-p^2

题目

设抛物线y^2=2px焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点,A,B纵坐标分别为y1,y2,证y1y2=-p^2

答案

焦点F(p/2,0)
若l与x轴垂直,有：
A(p/2,p),B(p/2,-p),y1y2=-p^2
若l不与x轴垂直,设l:y=k(x-p/2)
x=y^2/(2p)代入直线l的方程得：
y=k(y^2/(2p)-p/2)
化简得：ky^2/(2p)-y-kp/2=0
该方程的两根即为A,B两点的纵坐标
y1y2=(-kp/2)/(k/(2p))=-p^2