已知a2+b2+c2=1，若a+b+2c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

题目

已知a²+b²+c²=1，若a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

答案

∵(a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4
∴a+b+

2

c ≤2（5分）
又∵a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，
∴|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2
解得x≤-3或x≥1（10分）

由柯西不等式，我们易结合a²+b²+c²=1，得到(a+b+

2

c)2≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，再由a+b+

2

c≤|x+1|对任意实数a，b，c恒成立，故|x+1|≥(a+b+

2

c)max=2，解绝对值不等式，即可得到答案．

本题考点：绝对值不等式；柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评：该题考查柯西不等式、绝对值不等式求解；是容易题．