,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC＝90º,三条侧棱都与地面垂直,M、N分别为BB1、A1C1的中点.求证：AB⊥CB1；MN∥平面ABC1

题目

,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC＝90º,三条侧棱都与地面垂直,M、N分别为BB1、A1C1的中点.求证：AB⊥CB1；MN∥平面ABC1

答案

证明：因为BB1⊥面A1B1C1,
所以BB1⊥B1C1,
因为∠A1B1C1=∠ABC＝90º,
所以A1B1⊥B1C1,
所以A1B1⊥面BB1C1C,
因为AB∥A1B1,
所以AB⊥面BB1C1C,
所以AB⊥CB1；
取AC1的中点E,连接EN,BE,
因为M、N分别为BB1、A1C1的中点,
所以EN∥AA1∥BB1,EN=AA1/2=BB1/2=BM,
所以BMNE为平行四边形,
所以MN∥BE,
则MN∥平面ABC1