设A为n阶实矩阵,AA^t=Ⅰ,｜A｜＜0,试求（A^(-1))^*的一个特征值

题目

设A为n阶实矩阵,AA^t=Ⅰ,｜A｜＜0,试求（A^(-1))^*的一个特征值
（A^(-1))^*
我不知道怎么打出来：A的负1次方然后括号,括号外面是一个*次方

答案

AA^t=Ⅰ,则A为正交矩阵.
两边取行列式得：
|A|*|A^T|=1
又
｜A｜＜0
则|A|=|A^T|=-1
因为：（A^(-1))^*A^(-1)=|A^(-1)|*E
所以：（A^(-1))^*=|A^(-1)|*A
因为|A|=-1,
则（A^(-1))^*=-A
因为
|I+A|=|AA^t+A|=|A|*|I+A^t|=-||I+A|
所以|I+A|=0
即A有特征值-1
而（A^(-1))^*=-A
所以（A^(-1))^*有特征值1