已知椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3

题目

已知椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3
,直线l：y=x+2与与以原点为圆心,椭圆C1的短轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C1的方程

答案

依题意有
e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√[1-(b/a)^2]=√3/3=√(1/3)
得b/a=√2/√3
而直线l：y=x+2与与以原点为圆心,椭圆C1的短轴长为半径的圆相切,则
2b=2sinπ/4=√2,故半短轴b=√2/2,则半长轴a=b/(b/a)=(√2/2)/(√2/√3)=√3/2
则椭圆C1的方程为x^2/(3/4)+y^2/(1/2)=1,也即4x^2+6y^2=3