已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．

题目

已知an-bm≠0，a≠0，ax²+bx+c=0，mx²+nx+p=0，求证：（cm-ap）²=（bp-cn）（an-bm）．

答案

证明：∵an-bm≠0
∴方程ax²+bx+c=0和方程mx²+nx+p=0有相等的根．
方程ax²+bx+c=0可化为x²+

b

a

x+

c

a

=0   ①
方程mx²+nx+p=0可化为x²+

n

m

x+

p

m

=0   ②
把方程①-②可得：（

b

a

-

n

m

）x+（

c

a

-

p

m

）=0
解方程得：

bm−an

am

x+

cm−ap

am

=0
（bm-an）x+（cm-ap）=0
x=

ap−cm

bm−an

把x=

ap−cm

bm−an

代入方程ax²+bx+c=0
得：a(

ap−cm

bm−an

)2+b（

ap−cm

bm−an

）+c=0
a（ap-cm）²+b（ap-cm）（bm-an）+c（bm-an）²=0
a（ap-cm）²+（bm-an）（abp-bcm+bcm-can）=0
a（ap-cm）²+a（bm-an）（bp-cn）=0
∵a≠0，
∴两边同时除以a得到：（ap-cm）²+（bm-an）（bp-cn）=0
故（ap-cm）²=（bp-cn）（an-bm）．