设M=(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1),且a+b+c=1(a,b,c是正数）,则M的取值范围为_____

题目

设M=(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1),且a+b+c=1(a,b,c是正数）,则M的取值范围为_____

答案

a+b+c=1
M=[(1-a)/a]*[(1-b)/b][(1-c)/c]
=[(b+c)/a]*[(a+c)/b][(a+b)/c]
=(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)
a,b,c是正数
a+b>=2√ab
b+c>=2√bc
c+a>=2√ac
相乘
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
所以M=(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)>=8