已知a,b为非零向量,试比较丨a-b丨与丨a丨-丨b丨的大小

题目

已知a,b为非零向量,试比较丨a-b丨与丨a丨-丨b丨的大小
要分类，当。。。时，相等，当。。。时，＜

答案

以下a,b为非零向量
向量a,b和它们的差向量c=a-b组成三角形,在此三角形中,由余弦定理得
|a-b|²=|c|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cosθ（θ为a,b的夹角）
因为θ∈[0,180°]
∴-1≤cosθ≤1
∴-2|a||b|≤2|a||b|cosθ≤2|a||b|
∴-2|a||b|≤-2|a||b|cosθ≤2|a||b|
∴|a-b|²=|c|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cosθ≥|a|²+|b|²-2|a||b|=(|a|-|b|)²
∴|a-b|≥|a|-|b|
且当cosθ=1,即θ=0时,取得等号