如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，点D为A1C1的中点． 求证： （1）BC1∥平面AB1D； （2）A1C⊥平面AB1D．

题目

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

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AA1，点D为A₁C₁的中点．
求证：

（1）BC₁∥平面AB₁D；
（2）A₁C⊥平面AB₁D．

答案

（1）连结A1B，设A1B∩AB1=O，连结OD∵△A1BC1中，A1D=DC1，A1O=OB∴OD∥BC1∵OD⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∵B1D⊂平面A1B1C1，∴B1D⊥AA1，∵B1...

（1）连结A₁B，设A₁B∩AB₁=O，连结OD．利用三角形中位线定理证出OD∥BC₁，再根据线面平行的判定定理，即可证出BC₁∥平面AB₁D；
（2）利用线面垂直的判定与性质，证出B₁D⊥平面AA₁C₁C，从而得到B₁D⊥A₁C．矩形AA₁C₁C中，根据AC=

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AA1利用直角三角形相似证出A₁C⊥AD，最后利用线面垂直判定定理即可证出A₁C⊥平面AB₁D．

本题考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题在特殊正三棱柱中证明线面平行和线面垂直，着重考查了线面平行判定定理、线面垂直的判定与性质和正三棱柱的性质等知识，属于中档题．