平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两夹角为60度,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|=?

题目

平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两夹角为60度,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|=?

答案

设平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
作A1H⊥平面ABCD,垂足H,
再在平面ABB1A1上作A1M⊥AB,
在平面ADD1A1上作A1N⊥AD,
连结MH,NH,AH,
〈A1AM=<A1AN=60°,
AM=AN=AA1/2=3/2,
A1M=A1N=3√3/2,
根据三垂线定理,HM⊥AB,HN⊥AD,
△A1MH≌△A1HN,
HM=HN,
AH是〈DAB的平分线,
〈MAH=30°,
HM=AM/√3=√3/2,
A1H=√（A1H^2-HM^2)=√6,
平行六面体高为√6
AH=2HM=√3,
sin<A1AH=√6/3,cos<A1AH=√3/3,
在平行四边形ABCD中,作BE⊥CD,〈BCD=60°,
CE=BC/2=1,
BE=√3,
以A为原点,建立空间坐标系,
A（0,0,0）,A1（3/2,√3/2,√6）
C(1+1,√3,0),
C1(2+3/2,√3+√3/2,√6)
C1(7/2,3√3/2,√6),
向量AC1=（7/2,3√3/2,√6),
|AC1|=√[（7/2）^2+(3√3/2)^2+(√6)^2]=5.