命题p:一次函数y=(a-1)x+2在R上为减函数;命题q:关于x的不等式ax2<ax-1的解集是Ø. (1)若命题q为真命题,试求a的取值范围; (2)若“p且q”为真命题,试求a的取值范围; (3

命题p:一次函数y=(a-1)x+2在R上为减函数;命题q:关于x的不等式ax2<ax-1的解集是Ø. (1)若命题q为真命题,试求a的取值范围; (2)若“p且q”为真命题,试求a的取值范围; (3

题目
命题p:一次函数y=(a-1)x+2在R上为减函数;命题q:关于x的不等式ax2<ax-1的解集是Ø.
(1)若命题q为真命题,试求a的取值范围;
(2)若“p且q”为真命题,试求a的取值范围;
(3)若“p或q”为真命题,试求a的取值范围.
答案
∵一次函数y=(a-1)x+2在R上为减函数
∴a-1<0 即P:a<1
∵关于x的不等式ax2<ax-1的解集是Ø.
∴ax2-ax+1≥0恒成立
(i)当a=0时,1≥0恒成立,符合题意
(ii)当a≠0时,
a>0
△=a2−4a≤0
解可得,0<a≤4
综上可得,0≤a≤4
即q:0≤a≤4
(1)若命题q为真命题,则0≤a≤4
(2)若“p且q”为真命题,则命题p,q都为真命题
0≤a≤4
a<1

∴0≤a<1
(3)若“p或q”为真命题,则p,q至少一个为真命题
而当p,q都为假命题时,
a≥1
a<0或a>4
,即a>4
∴当p或q为真时,a≤4
由一次函数y=(a-1)x+2在R上为减函数可得即P:a<1;由不等式ax2<ax-1的解集是Ø.可得ax2-ax+1≥0恒成立,结合二次函数的性质可得q:0≤a≤4
(1)若命题q为真命题,可求
(2)若“p且q”为真命题,则命题p,q都为真命题
(3)若“p或q”为真命题,则p,q至少一个为真命题,其对立事件是p,q都为假命题,从而可求

复合命题的真假.

本题主要考查了一次函数的单调性与系数的关系,二次函数的恒成立的求解及复合命题的真假判断的应用.要注意(3)中利用对立事件求解

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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