若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)
题目
若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,(1)求证:f(x)>0 (2)求证:f(x)为减函数 (3)当f(4)=1/16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1/4
答案
(1)令a=0,则 f(0+b)=f(0)•f(b) 即 f(b)=f(0)•f(b),因为f(x)为非零函数,f(b)≠0,
所以f(0)=1>0 ;
设 x<0,则f(x)>1>0,且 -x>0,
1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)•f(-x),
所以 f(-x)=1/f(x)>0
综上,对 x∈R,总有 f(x)>0
(2)设a<b,则a-b<0,f(a-b)>1,又由(1)知,f(b)>0,
所以f(a)-f(b)=f((a-b)+b)-f(b)=f(a-b)·f(b)-f(b)=f(b)[f(a-b)-1]>0
所以f(x)为R上的减函数.
(3)f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=1/16,因为f(x)>0,故f(2)=1/4
f(x-3)•f(6-2x)≤1/4等价于
f[(x-3)+(6-2x)]≤f(2)
由(2)知,f(x)为R上的减函数,故
(x-3)+(6-2x)≥2
解得 x≤1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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