二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根立方和为32.求f(x)；若x属于[-1,4],求f(x)的最值；求f(x)在区间

题目

二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根立方和为32.求f(x)；若x属于[-1,4],求f(x)的最值；求f(x)在区间[m,m+2]上的最小值

答案

：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根立方和为32.求f(x)；
因为 f(1+x)=f(1-x) 所以对称轴为 x=1
因为 f(x)的最大值为15 所以 f（1）=15
设 y=ax²+bx+c
-b/2a=1 b=-2a
y=ax²-2ax+c=0
15=a-2a+c
a+15=c
原式为 y=ax²-2ax+15+a
根据韦达定理 x1x2=1+15/a x1+x2=2
x1^3+x2^3=x1^3-(-x2^3)=(x1+x2)(x1²-x1x2+x2²）
=2（4-3-45/a)=32
1-45/a=16
a=-3
二次函数为 y=-3x²+6x+12
若x属于[-1,4],求f(x)的最值
最值为 f(1)=15
f(x)在区间[m,m+2]上的最小值
分类讨论 当
① m ＜1＜m+2 最小值 f（m）或f（m+2）
② 1＜m 最小值 f（m+2）
③ 1＞m+2 最小值 f（m）