设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为L,若过点F且垂直于x轴的弦长等于右顶点到右准

题目

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为L,若过点F且垂直于x轴的弦长等于右顶点到右准
L距离的2倍,则椭圆的离心率是

答案

把x=c代入椭圆方程求出2|y|,得过点F且垂直于x轴的弦长=2b^2/a,右顶点到右准L距离a^2/c-a,所以2b^2/a=2a^2/c-2a,所以b^2/a=a^2/c-a,所以b^2/a^2=a/c-1,即1-e^2=1/e-1=(1-e)/e,所以1+e=1/e即e^2+e-1=0,e=(-1+√5)/2....