在三角形ABC中,SINA+COSA=3分之根号2,求三角形ABC的形状

题目

在三角形ABC中,SINA+COSA=3分之根号2,求三角形ABC的形状

答案

方法1----初步估算法：
sinA+cosA = √2 / 3 ===> sin²A + 2sinAcosA +cos²A = 2 / 9 ①
sin²A+cos²A = 1 ②
由①、②得,2sinAcosA = -7 / 9 ③
考虑到 角度A为三角形内角,范围在0～180°之间,sinA > 0；由③得,只能cosA < 0
可见 角度A范围在第二象限,△ABC为钝角三角形.
方法2----进一步考虑：
由③式得,sin2A = -7 / 9 ===> 2A = arcsin(7/9) + 180° ===> 计算器 A = 115.5288°
方法3----特殊构造
sinA+cosA = √2 / 3 ===> √2 (cos45°sinA + sin45°cosA) = √2sin(A+45°) = √2 / 3 ※
===> sin(A+45°) = 1 / 3 下略