一个三棱锥,与顶点相连的三条楞两两垂直,请问顶点在底面上的投影是底面三角形的什么心?

题目

一个三棱锥,与顶点相连的三条楞两两垂直,请问顶点在底面上的投影是底面三角形的什么心?
是垂心还是重心啊?

答案

垂心
如图,O是P在底面ABC内的射影,即OP⊥底面ABC,
∵OP⊥底面ABC,∴OP⊥BC；
∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
∴PA⊥平面PBC,又BC在平面PBC内,
∴PA⊥BC,
∵OP∩PA=P,
∴BC⊥平面PAO,得BC⊥AO,
即OA⊥BC,
同理可证,OB⊥AC,OC⊥AB,
∴O是△ABC的垂心.（三角形三条高的交点）