设函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.

设函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.

题目
设函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0无整数根.
答案
证明:f(0)=c为奇数
f(1)=a+b+c为奇数,则a+b为偶数
所以a,b同奇偶
假设整数根t,所以f(t)=0 即at2+bt+c=0
若a,b同为偶数,则at2+bt为偶数,所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0
与at2+bt+c=0矛盾
若a,b同为奇数,
若t为偶数则at2+bt为偶数
若t为奇数则at2+bt为偶数
所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾
综上所述方程f(x)=0无整数根
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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