已知函数f(x)＝sinx•cosx−3cos2x+1/23(x∈R)， （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调区间； （3）求f（x）图象的对称轴，对称中心．

题目

已知函数f(x)＝sinx•cosx−

3

cos2x+

1

2

3

(x∈R)，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）图象的对称轴，对称中心．

答案

（1）f(x)＝

1

2

sin2x−

3

cos2x+1

2

+

1

2

3

=(

1

2

sin2x−

3

2

cos2x)
=sin(2x−

π

3

)
T=π；
（2）由−

π

2

+2kπ≤2x−

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈z)，
可得单调增区间[kπ−

π

12

，kπ+

5

12

π]，
（k∈z），
由

π

2

+2kπ≤2x−

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈z)，
可得单减区间[kπ+

5

12

π，kπ+

11

12

π](k∈z)；
（3）由2x−

π

3

＝

π

2

+kπ得对称轴为x＝

5π

12

+

kπ

2

(k∈z)
由2x−

π

3

＝kπ得对称中心为x＝

kπ

2

+

π

6

，k∈Z.．

（1）用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据T=

2π

w

求得最小正周期．
（2）由正弦函数的性质可知−

π

2

+2kπ≤2x−

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈z)时，函数单调增，

π

2

+2kπ≤2x−

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈z)函数单调减．进而求得x的范围，确定函数的单调递增和递减区间．
（3）由正弦函数的对称性可知，利用2x−

π

3

＝

π

2

+kπ求得函数的对称轴，由2x−

π

3

＝kπ求得对称中心．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．

考点点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基本性质．