已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.
题目
已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.
答案
证明:如图,延长AD到点G,使得AD=DG,连接BG.
∵AD是BC边上的中线(已知),
∴DC=DB,
在△ADC和△GDB中,
| AD=DG | ∠ADC=∠GDB(对顶角相等) | DC=DB |
| |
∴△ADC≌△GDB(SAS),
∴∠CAD=∠G,BG=AC
又∵BE=AC,
∴BE=BG,
∴∠BED=∠G,
∵∠BED=∠AEF,
∴∠AEF=∠CAD,
即:∠AEF=∠FAE,
∴AF=EF.
根据点D是BC的中点,延长AD到点G,得到△ADC≌△GDB,利用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到△AEF中的两个角相等,然后用等角对等边证明AE等于EF.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线得到全等三角形,利用全等三角形的性质,得到对应的角相等,然后证明两线段相等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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