三角形ABC内接于圆O,过圆心O作BC的垂线交圆O于点P.Q,交AB于点D,QP.CA的延长线交于点E,求证:OA*OA=OD*OE

题目

三角形ABC内接于圆O,过圆心O作BC的垂线交圆O于点P.Q,交AB于点D,QP.CA的延长线交于点E,求证:OA*OA=OD*OE

答案

证明:由于三角形ABC内接于圆O,连接OB,OC,则OA=OB=OC.
故∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB,∠OCA=∠OAC
又∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=180°
则∠OAB+∠OCA+∠OCB=90°
则∠OAB+∠ACB=90°,又OQ⊥BC,则∠ACB+∠E=90°
等量代换,得∠OAB=∠E,又在△ADO和△EAO中,∠AOE公共,∠OAB=∠E
则△ADO∽△EAO,则OA:OD=OE:OA
即OA² =OD×OE
此题得证.