设z=z(x,y)由方程φ(x/z,y/z) 确定,证明x*∂z/∂x+y*∂z/∂y=z

题目

设z=z(x,y)由方程φ(x/z,y/z) 确定,证明x*∂z/∂x+y*∂z/∂y=z

答案

证明：方程φ(x/z,y/z) =0,两边对x偏导（用"p"表示求偏导符号）：
φ1*(z-x*pz/px)/z^2+φ2*(-y/z^2)*pz/px=0
解得pz/px=z*φ1/(xφ1+yφ2)
方程两边对x偏导,得
φ1*(-x/z^2)*pz/py+φ2*(z-y*pz/py)/z^2=0
解得pz/py=z*φ2/(xφ1+yφ2)
故x*∂z/∂x+y*∂z/∂y=xz*φ1/(xφ1+yφ2)+yz*φ2/(xφ1+yφ2)=z