当AB=BA时,证明:rank(A+B)

题目

当AB=BA时,证明:rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)-rank(AB)

答案

设A,B,A+B,AB四个矩阵的零空间分别是a,b,c,d
由于AB=BA,所以a并b包含于d
且易知a交b包含于c
由维数公式:dim(a)+dim(b)=dim(a并b)+dim(a交b)
结合上面两个条件,有dim(a)+dim(b)<=dim(c)+dim(d)
把dim(a)=n-r(a)等四个式子都代进去就是要证明的式子.