如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G． （1）求证：△AFG≌△CFD； （2）若BC=3，AF

题目

如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．

（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若BC=3，AF=

3

，求线段EG的长．

答案

（1）证明：连接BF，∵CF⊥AD，∴∠DFC=∠CFD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠FCD=30°，∴CD=2DF，∵CD=2BD，∴BD=DF，∴∠DBF=∠DFB，∵∠ADC=∠DFB+∠FBD=60°，∴∠DFB=∠DBF=30°，∵∠ABC=45°，∴∠ABF=45°-30°=1...

（1）连接BF，根据三角形外角性质和等腰三角形的判定求出BD=DF，求出BF=AF=CF，求出∠FAG=∠FCD，根据ASA推出两三角形全等即可．
（2）求出BD、DC长，根据全等求出FG=DF=1，根据勾股定理求出CF，求出CG，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．