在矩形ABCD中,BD是对角线,MN是BD的垂直平分线,交AD于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BN,DM.求证：

题目

在矩形ABCD中,BD是对角线,MN是BD的垂直平分线,交AD于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BN,DM.求证：
1.四边形BNDM是菱形.
2.若AB=4,AD=8,求DM的长.

答案

1、∵ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AD∥BC,∴∠MDO=∠NBO,
在ΔOMD与ΔONB中,∠MOD=∠NOB,∴ΔOMD≌ΔONB,∴OM=ON,
∴四边形BNDM是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵MN垂直平分BD,∴BM=DM,
∴平行四边形BNDM是菱形.
2、设MD=BM=X,则AM=8-X,
在RTΔABM中,BM^2=AB^2+AM^2
∴(8-X)^2=16+X^2,X=3
∴DM=3