在直角△ABC中，锐角C的平分线交对边于E，又交斜边上的高AD于O，过O引OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF．

题目

在直角△ABC中，锐角C的平分线交对边于E，又交斜边上的高AD于O，过O引OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF．

答案

过E点作EK⊥BC，垂足为K，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠EAC=90°，
∴EA⊥AC，
∴EK=EA（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵∠OEA=∠B+

1

2

∠ACB，∠AOE=∠1+

1

2

∠ACB，
∴∠OEA=∠AOE
∴AO=EA=EK
∵OF∥CB，
∴∠EFO=∠B
∵在△AOF和△EKB中

∠AOF＝∠EKB ∠B＝∠AFO AO＝EK

∴△AOF≌△EKB（AAS）
∴AF=EB，
∴AE=BF．

本题可通过构建全等三角形求解；过E作EK⊥BC于K，通过证△AOF≌△EKB，得AF=EB，从而根据AE=AF-EF、BF=BE-EF，得出AE=BF的结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用三角形全等是证线段相等的重要手段之一，能够正确的构建出全等三角形，是解答此题的关键．