用数学归纳法证明：1³+2³+3³...+n³=n²(n+1)²/4=（1+2+3+...+n)² .（n是正整数）

题目

用数学归纳法证明：1³+2³+3³...+n³=n²(n+1)²/4=（1+2+3+...+n)² .（n是正整数）
请用数学归纳法证明,

答案

1.n=1时,
1³=1²(1+1)²/4=1²成立
2.设n=k时成立,即1³+2³+3³...+k³=k²(k+1)²/4=（1+2+3+...+k)²
则n=k+1时
1³+2³+3³...+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³
=(k²+4k+4)(k+1)²/4=(k+1+1)²(k+1)²/4
成立
1³+2³+3³...+k³+(k+1)³=（1+2+3+...+k)²+(k+1)³
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+(k+1)³-(k+1)²
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+k(k+1)²
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+k(k+1)(k+1) [由于1+2+3+...+k=k(k+1)/2,所以可得下一步]
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+2(1+2+3+...+k)(k+1)
=(1+2+3+...+k+ k+1 )²
也成立
所以……n=k成立时n=k+1也成立,由1、2两步递归可知
1³+2³+3³...+n³=n²(n+1)²/4=（1+2+3+...+n)² .（n是正整数）