如图,AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上. 求证:AB=AC+BD.
题目
如图,AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上.
求证:AB=AC+BD.
答案
证明:如图,
在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△CAE和△FAE中,
,
∴△CAE≌△FAE(SAS),
则∠CEA=∠FEA,
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°,
∴∠FEB=∠DEB,
∵BE平分∠DBA,
∴∠DBE=∠FBE,
在△DEB和△FEB中,
,
∴△DEB≌△FEB(ASA),
∴BD=BF,
又∵AF=AC,
∴AB=AF+FB=AC+BD.
首先在AB上截取AF=AC,连接EF,证明△CAE≌△FAE,可证出∠CEA=∠FEA,可得到∠FEB=∠DEB,再证明△DEB≌△FEB,可得到BD=BF,即可证出AB=AC+BD.
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此题主要考查了角平分线,以及三角形全等的判定和性质,证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段.
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