已知平行四边形ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形

题目

已知平行四边形ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形
用平面向量知识解

答案

为打字方便,以下形如AB的表示向量AB
由题目条件|AC|=|BD|
即|AB+BC|=|BC+CD|
由于ABCD为平行四边形,CD=BA=-AB
所以|AB+BC|=|BC-AB|
两边平方有(AB+BC)点乘(AB+BC)=(BC-AB)点乘(BC-AB)
展开立得AB点乘BC=0
这说明AB⊥BC
所以四边形ABCD是矩形