已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an．

题目

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

答案

∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①
∴10a₁=a₁²+5a₁+6，
解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁，a₃，a₁₅不成
等比数列∴a₁≠3；
当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，
∴a₁=2，∴a_n=5n-3．