e1、e2是平面内互相垂直的两单位向量,且a=e1+e2,则与a平行的向量可以表示为

题目

e1、e2是平面内互相垂直的两单位向量,且a=e1+e2,则与a平行的向量可以表示为
A a/2
B ±a/2
C a/根号2
D ±a/根号2

答案

有如下结论：与a向量平行的单位向量是±a/|a|.
下面先证明一下：
【证明】
设与向量a(x,y)共线的单位向量为a0=(x0,y0),
单位向量即模为1的向量,模为1即根号（x0^2+y0^2）=1
即 x0^2+y0^2=1……①
向量a0与向量a共线,所以y0/y=x0/x,
即y0 =x0 y /x……②
将②代入①可得：x0^2+ x0^2 y^2 /x^2=1,
x0^2*(( x^2 +y^2) /x^2)=1,
x0^2* =x^2/( x^2 +y^2),
解得x0=±x/√( x^2 +y^2),
将x0代入②可得y0 =±y/√( x^2 +y^2).
其中√( x^2 +y^2)为向量a(x,y)的模.
∴与a共线的单位向量为±a/|a|
已知向量a=(1,1),|a|=√2,
则与向量a共线的单位向量为(√2/2,√2/2)或(-√2/2,-√2/2).
e1、e2是平面内互相垂直的两单位向量,且a=e1+e2,则与a平行的单位向量可以表示为
A a/2
B ±a/2
C a/根号2
D ±a/根号2
【解】
因为a=e1+e2,
所以|a|^2=( e1+e2)^2
=e1^2+e^2+2e1•e2
=1+1+0
=2,
所以|a|=√2,
∴与a平行的单位向量可以表示为±a/√2.
选D.
【例】与向量a=(-12,5)平行的单位向量的坐标是多少?
与a向量平行的单位向量是±a/|a|
因|a|=13
所以答案是±(-12,5)/13
即(-12/13,5/13)或(12/13,-5/13)