计算二重积分∫∫3x/y² dxdy ,其中D由x=2,y=1/x和y=x围成.

题目

计算二重积分∫∫3x/y² dxdy ,其中D由x=2,y=1/x和y=x围成.

答案

先画出积分区间,
显然y=1/x和y=x的交点是(1,1)
那么x的积分区间是(1,2)
于是
原积分
=∫(1到2)3x dx *∫(1/x到x) 1/y²dy
=∫(1到2)3x dx * (-1/y) 代入y的上下限x和1/x
=∫(1到2)3x *(-1/x +x) dx
=∫(1到2) -3+3x² dx
= -3x +x^3 代入上下限2和1
= -6+8 -(-3+1)
= 4
所以
原积分 = 4