对于两条垂直直线和一个椭圆,以知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心方程

题目

对于两条垂直直线和一个椭圆,以知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心方程

答案

取两条互相垂直的直线为 x、y 轴,建立平面直角坐标系 ,
设椭圆在第一象限 ,长轴长为 2a ,短轴长为 2b ,且与 x、y 轴都相切,
设椭圆中心坐标为（m,n）,两条轴所在直线方程分别为 A(x-m)+B(y-n)=0 和 B(x-m)-A(y-n)=0 ,
因此椭圆方程可写为 [A(x-m)+B(y-n)]^2/a^2+[B(x-m)-A(y-n)]^2/b^2=1 ,
因为椭圆与 x、y 轴均相切,所以令 x=0 得到的关于 y 的二次方程 ,
和令 y=0 得到的关于 x 的二次方程均有重根 ,