已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.
题目
已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.
答案
设直角三角形的三边长分别为a,b,c(c是斜边),
则a+b+c=60.
∵a+b+c=60,
∴60=a+b+c<3c,
∴c>20.
∵a+b>c,a+b+c=60,
∴60=a+b+c>2c,
∴c<30.
又∵c为整数,
∴21≤c≤29.
根据勾股定理可得:a
2+b
2=c
2,把c=60-a-b代入,
化简得:ab-60(a+b)+1800=0,
∴(60-a)(60-b)=1800=2
3×3
2×5
2,
∵a,b均为整数,
∴只可能是
或
解得
或
,
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c,
∴当a=20,b=15时,c=25,三角形的外接圆的面积为
,
当a=10,b=24时,c=26,三角形的外接圆的面积为169π.
设直角三角形的三边长分别为a,b,c(c是斜边),则a+b+c=60,下面先求c的值;由a+b+c=60得60=a+b+c<3c,所以c>20.由a+b>c及a+b+c=60得60=a+b+c>2c,所以c<30.即可求得c的取值范围,然后由勾股定理可得ab-60(a+b)+1800=0,然后分析求得a,b的值,继而求得它的外接圆的面积.
三角形边角关系;勾股定理;三角形的外接圆与外心.
此题考查了直角三角形的性质、直角三角形外接圆的性质以及不等式的应用.此题难度较大,解题的关键是掌握三角形的外接圆的直径即为斜边长c,掌握不等式的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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