已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左顶点是A,且直线L交椭圆C与M、N的两点,且AM⊥AN (1)若椭圆的离心率为2^1/2/2且直线L：y=x+2/3求椭圆C的方程 (2

题目

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左顶点是A,且直线L交椭圆C与M、N的两点,且AM⊥AN (1)若椭圆的离心率为2^1/2/2且直线L：y=x+2/3求椭圆C的方程 (2)在(1)的椭圆C的方程条件下,求△AMN的面积S的最大值

答案

1)e=c/a=√2/2,∴c=√2a/2,b=√(a-c)=√2a/2 ∴C:x/a+2y/a=1,即x+2y-a=0① 将y=x+2/3代入整理得 3x+8x/3+8/9-a=0 ∴x1+x2=-8/9,x1x2=8/27-a/3 M(x1,x1+2/3),N(x2,x2+2/3),则向量AM=(x1+a,x1+2/3),AN=(x2+a,x2+2/3) AM⊥AN,∴向量AM*AN=(x1+a,x1+2/3)(x12+a,x2+2/3)=2x1x2+(a+2/3)(x1+x2)+a+4/9=0 ∴2x1x2+(a+2/3)(x1+x2)+a+4/9=2×(8/27-a/3)+(a+2/3)×(-8/9)+a+4/9=a/3-8a/9+4/9 =(3a-8a+4)/9=(3a-2)(a-2)=0 ∴a=2/3或a=2 a=2/3时,A(-2/3,0),即L过A,不能满足要求(舍),∴a=2,b=√2 ∴C:x/4+y/2=1 2)L斜率不可能为0,设L:x=ky+m,x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入①整理得 (k+2)y+2kmy+m-4=0 ∴y1+y2=-2km/(k+2),y1y2=(m-4)/(k+2) A(-2,0),则向量AM=(ky1+m+2,y1),AN=(ky2+m+2,y2) ∴向量AM*AN=(ky1+m+2,y1)(ky2+m+2,y2)=(k+1)y1y2+(m+2)k(y1+y2)+(m+2) =(k+1)×(m-4)/(k+2)+(m+2)k×(-2km)/(k+2)+(m+2)=(3m+8m+4)/(k+2)=0 ∴(3m+8m+4)=(3m+2)(m+2)=0,m=-2或-2/3 m=-2时,L:x=ky-2过(-2,0),不满足要求(舍),∴m=-2/3,L:x=ky-2/3过定点P(-2/3,0),则AP=4/3 ∴S=S△APM+S△APN=(1/2)AP×|y1|+(1/2)×AP×|y2|=(1/2)AP×|y1-y2|=2|y1-y2|/3 S最大时|y1-y2|最大,由图形可知k=0时取得最大值,此时可以算出MN纵坐标分别为4/3和-4/3,|y1-y2|=8/3 ∴S最大值为 2×(8/3)/3=16/9