如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=3/4． （1）求AB的值；（2）求sin（2A+C）的值．

题目

如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=

3

4

．

（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

答案

（1）由余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=4+1-2×2×1×

3

4

=2．
那么，AB=

2

（2） 由cosC=

3

4

，且0＜C＜π，
得sinC=

1-cos2C

=

7

4

．由正弦定理，

AB

sinC

=

BC

sinA

，
解得sinA=

BCsinC

AB

=

14

8

．
所以，cosA=

5 2

8

．
由倍角公式sin2A=2sinA•cosA=

5 7

16

，
且cos2A=1-2sin2A=

9

16

，
故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=

3 7

8

．

（1）利用余弦定理把AC=2，BC=1，cosC＝

3

4

．即可求得AB．
（2）由cosC求得sinC，在由正弦定理求得sinA，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosA，用倍角公式求得sin2A和cos2A，进而利用两角和公式求得答案．

本题考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．

考点点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．应熟练掌握这两个的定理的公式和变形公式．