怎样证明完全域的代数扩张还是完全域
题目
怎样证明完全域的代数扩张还是完全域
答案
若F是完全域,G是F的代数扩张
假定G不完全,那么存在G上的不可约多项式g(x)使得g(x)有重根a
由于a是F上的代数元,设f(x)是a在F上的极小多项式
那么f(x)和g(x)的最大公因子就是g(x)（否则与g(x)不可约矛盾）,即g(x)|f(x)
这样a就是f(x)重根,这又与F是完全域矛盾
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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