已知集合A={a1,a2,…,ak(k≥2)},其中ai∈Z(i=1,2,…,k),由A中的元素构成两个相应的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a
题目
已知集合A={a
1,a
2,…,a
k(k≥2)},其中a
i∈Z(i=1,2,…,k),由A中的元素构成两个相应的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.其中(a,b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a∈A,总有-a∉A,则称集合A具有性质P.
(Ⅰ)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合,写出相应的集合S和T;
(Ⅱ)对任何具有性质P的集合A,证明:
n≤
答案
(I)集合{0,1,2,3}不具有性质P.
集合{-1,2,3}具有性质P,其相应的集合S和T是
S=(-1,3),(3,-1),T=(2,-1),(2,3).
(II)证明:首先,由A中元素构成的有序数对(a
i,a
j)共有k
2个.
因为0∉A,所以(a
i,a
i)∉T(i=1,2,k);
又因为当a∈A时,-a∉A时,-a∉A,
所以当(a
i,a
j)∈T时,(a
j,a
i)∉T(i,j=1,2,k).
从而,集合T中元素的个数最多为
(k2−k)=,
即
n≤.
(III)m=n,证明如下:
(1)对于(a,b)∈S,根据定义,
a∈A,b∈A,且a+b∈A,从而(a+b,b)∈T.
如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素,
那么a=c与b=d中至少有一个不成立,
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立.
故(a+b,b)与(c+d,d)也是T的不同元素.
可见,S中元素的个数不多于T中元素的个数,即m≤n,
(2)对于(a,b)∈T,根据定义,a∈A,b∈A,
且a-b∈A,从而(a-b,b)∈S.
如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素,
那么a=c与b=d中至少有一个不成立,
从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立,
故(a-b,b)与(c-d,d)也是S的不同元素.
可见,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m,
由(1)(2)可知,m=n.
举一反三
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