高等数学中的几道习题

题目

高等数学中的几道习题
1.∫∫D2ydxdy,式中积分区域D由√2-x2≤y≤1+√1- x2所确定.

答案

先画个图,可以知道积分区域是 圆x^2+y^2=2,和圆x^2+(y-1)^2=1所围成的y=1之上的月牙型区域,易求得两圆的交点的横坐标分别为1和-1,所以
∫(-1,1)∫(根号(2-x^2),1+根号（1-x^2）)2ydydx,
其中∫(-1,1)表示积分的上下限为1和-1.
上式=∫(-1,1)2*根号(1-x^2)dx
而由定积分的定义,∫(-1,1)根号(1-x^2)dx 表示圆
x^2+y^2=1的上半圆的面积,显然为pi/2,
所以原式=2*（pi/2)=pi