设f(x)＝a/x+xlnx，g（x）=x3-x2-3． （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上

题目

设f(x)＝

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=2时，f(x)＝2x+xlnx，f′(x)＝−2x2+lnx+1，f（1）=2，f'（1）=-1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；（4分）（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）-g（x2）]ma...

（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x₁）-g（x₂）]_max，求出M的范围；
（3）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)＝

a

x

+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x²lnx恒成立，令h（x）=x-x²lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．