AB是○O的直径,OD垂直于弦BC于点F交圆O于E 角AEC=角ODB 当AB=10 BC=8时求△DFB面积

题目

AB是○O的直径,OD垂直于弦BC于点F交圆O于E 角AEC=角ODB 当AB=10 BC=8时求△DFB面积

答案

证明：∵∠AEC=∠ABC,∠AEC=∠ODB,
∴∠ABC=∠ODB,
∵OD⊥弦BC,
∴∠OFB=90°,
∴∠DOB+∠ABC=90°,
∴∠BOD+∠D=90°,
∴∠OBD=180°-90°=90°,
∵OB是半径,
∴直线BD是圆O的切线,
即直线BD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵OD⊥BC,OE是圆O的半径,BC=8,
∴BF=CF=
1
2
BC=4,
∠DFB=90°,
连接AC,
∵AB是圆的直径,
∴∠ACB=∠DFB=90°,
∵∠D=∠ABC,
∴△ACB∽△BFD,
∴
S△BFD
S△ACB
=(
BF
AC
)2=(
4
6
)2=
4
9
,
∵△ABC的面积是
1
2
×6×8=24,
∴△DFB的面积是
32
3
,
答：△DFB的面积是
32
3
．