已知数列an中,a1=1,且点P(an,an+1),在直线X-Y+1=0上,
题目
已知数列an中,a1=1,且点P(an,an+1),在直线X-Y+1=0上,
设b(n)=1/a(n),Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=[(Sn)-1]*g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
答案
1、点坐标代入得:an-a(n+1)+1=0,a(n+1)=an+1,即an是等差数列,a1=1,d=1,an=n;
2、bn=1/an=1/n;
sn=1+1/2+1/3+…+1/n,
S1+S2+S3+…+Sn-1=1+(1+1/2)+(1+1/2+1/3)+…+(1+1/2+1/3+…+1/(n-1))
=(n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+…+1/(n-1)
=(n/1-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+…+(n/(n-1)-1)
=n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]
=n[(sn)-1]=g(n);
所以,g(n)=n,解析式存在
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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